Why can the range of a function have more values which do not correspond to any values of the domain of the function? Since the output (y) of a function depends solely on the input (x) how can there be values which are not connected and depended on x? Where do thes y come from? From outter space?
17 comments:
δεν είμαι εντελώς βέβαιος τί ακριβώς ρωτάς (καλό είναι να δίνεις και ένα παράδειγμα)
0αλλά αν κατάλαβα καλά λες ότι πώς γίνεται η συνάρτηση y=2x
να είναι ένα προς ένα και επί από το διάστημα (0,1) στο διάστημα (0,2)
αφού το δεύτερο "έχει διπλάσιο πλήθος σημείων" από το πρώτο.
αν αυτή είναι το πρόβλημά σου,
η απάντηση είναι ότι η έννοια τού πλήθους (πληθικός αριθμός)
είναι κάπως παράξενη όταν μπερδευόμαστε με την έννοια τού απείρου.
μια μικρή εισαγωγή στον πληθικό αριθμό.
φαντάσου ότι έχουμε δυο βοσκούς που θέλουν να μάθουν ποιός έχει περισσότερα πρόβατα.
ένας τρόπος είναι να τα μετρήσουν αλλά τί γίνεται αν δεν μπορούν να μετρήσουν (γιατί πχ δεν ξέρουν να μετράνε...)
μπορούν να τα περάσουν από μια πύλη σε ζευγάρια, ένα του ενός και ένα του άλλου οπότε όποιος έχει τα περισσότερα θα μείνει με επιπλέον πρόβατα "αζευγάρωτα". δηλαδή ακριβώς αν υπάρχει απεικόνιση από το ένα σύνολο στο άλλο 1-1 και επί λέμε ότι δυο σύνολα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό.
στην περίπτωση συνόλων με πεπερασμένο αριθμό αριθμό στοιχείων είναι το ίδιο με το να μετρήσουμε τα πλήθη.
στην περίπτωση όμως άπειρων στοιχείων δεν μπορούμε να "μετρήσουμε". πρέπει να βασιστούμε στην ύπαρξη απεικονίσεων. όμως και αυτό είναι ενδιαφέρον δεν ισχύει η κοινή αντίληψη ότι αν το σύνολο Α είναι υποσύνολο τού Β και υπάρχουν στοιχεία του Α που δεν ανοίκουν στο Β τότε το Β έχει "λιγότερα" στοιχεία από το Α. ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ. μπορεί κάλλιστα το Β να έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το Α.
παράδειγμα: το σύνολο των περιττών αριθμών έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με το σύνολο των φυσικών αριθμών!
αυτό ισχύει γιατί υπάρχει η απεικόνιση μ=2ν-1 που αντιστοιχεί 1-1 όλους του φυσικούς αριθμούς (ν), με όλους τους περιττούς αριθμούς (μ).
έτσι έχουμε ότι το σύνολα των φυσικών αριθμών, τών ακεραίων, των περιττών, τών άρτιων, των πρώτων, τών ρητών για παράδειγμα έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. όλα τα σύνολα που έχουν άπειρο πλήθος στοιχείων αλλά ίδιο πληθικό αριθμό με τους φυσικούς λέμε ότι έχουν "αριθμήσιμο" πλήθος.
αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει απεικόνιση 1-1 από το σύνολο των φυσικών στο σύνολο των πραγματικών. έτσι οι πραγματικοί έχουν μεγαλύτερο πληθικό αριθμό από τους φυσικούς (λέμε ότι έχουν "μη αριθμήσιμο" πλήθος ή "υπεράριθμο" πλήθος) τώρα οποιοδήποτε διάστημα των πραγματικών έχει τον ίδιο πληθικό αριθμό με τους πραγματικούς έτσι τα διαστήματα (0,1) και (0,2) έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό, μπορούμε να έχουμε απεικονίσεις ένα προς ένα καθώς έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. το "μέτρο" των διαστημάτων (το διάστημα (0,1) έχει μέτρο 1 ενώ το (0,2) έχει μέτρο 2 είναι διαφορετική έννοια που δείχνει πόσο μεγάλα είναι τα διαστήματα και όχι πόσα σημεία περιλαμβάνονται.
Γειά σου Lucinos, ευχαριστώ για το πραγματικά μεγάλο σχόλιο. Νομίζω ότι δεν καταλαβαίνω γιατί δεν έχω προχωρήση τόσο στις συναρτήσεις. Ένα μάθημα έκανα με τα βασικά και μερικούς από τους ορισμούς που χρησιμοποιείς δεν τους ξέρω. Αύριο έχω άλλο ένα μάθημα οπότε θα το ξαναδιαβάσω μπας και βγάλω νόημα. Το πρόβλημά μου είνα το εξής και στα ελληνικά:
Έχουμε το σύνολο Α που περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές χ. Έχουμε και το σύνολο Β που περιέχει τις εξαρτημένες μεταβλητές y.
Το Β έχει ή ίσο αριθμό τιμών με το Α ή μεγαλύτερο. Μικρότερο δεν μπορεί να έχει. Η απορία μου είναι γιατί μπορεί να υπάρχουν τιμές y στο Β οι οποίες δεν αντιστοιχούν σε κανένα χ του συνόλου Α. Κάθε χ αντιστοιχίζεται σε ένα y ή σε παραπάνω y. Το πλήθος μπορεί να είναι μεγαλύτερο με αυτόν τον τρόπο πχ ρίζα του 9 είναι +3 ή -3. Αλλά τί γίνεται με τα y που δεν προέρχονται από τα x πως μπαίνουν στο σύνολο Β;
Αυτή ήταν η απορία μου.
αυτό που ρωτάς είναι πολύ απλούστερο. δηλαδή λές πχ η συνάρτηση ψ=ημχ είναι συνάρτηση από τους πραγματικούς στους πραγματικούς ενώ οι μόνες τιμές του ψ που αντιστοιχούν σε κάποιο χ είναι από το διάστημα [-1,1]. και το ερώτημά σου είναι γιατί τότε λέμε ότι πάει από τους πραγματικούς στους πραγματικούς και δεν πάει από τους πραγματικούς στο διάστημα [-1,1].
η απάντηση είναι ότι το ίδιο μας κάνει. γενικά το πεδίο ορισμού (το σύνολο στο οποίο ανήκει το χ) πρέπει να το ορίσουμε με ακρίβεια οπωσδήποτε καθώς δεν θέλουμε να δώσουμε σε καμμία περίπτωση άκυρη τιμή του χ το πρόβλημα όμως του ποιες ακριβώς τιμές είναι δυνατόν να πάρει το ψ δεν θέλουμε να το λύνουμε κάθε φορά που θέλουμε να ορίσουμε μια συνάρτηση καθώς μπορεί να είναι δύσκολο πρόβλημα ενώ μπορεί να μην θέλεις να το λύσεις (και οπωσδήποτε δεν θέλεις να το λύσεις πριν ορίσεις την συνάρτηση) για τις ανάγκες λοιπόν του ορισμού της συνάρτησης ψ=ημχ αυτό που σε ενδιαφέρει πρώτα είναι καταρχάς ότι το χ μπορεί να πάρει ως τιμή όποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και ότι απεικονίζεται σε κάποιον πραγματικό και δεν σε ενδιαφέρει το πρόβλημα ποιο είναι το σύνολο των ψ που αντιστοιχούν σε χ. από την στιγμή που ορίσεις την συνάρτηση και μπορείς ποια να ασχοληθείς με ποιο προχωρημένες ιδιότητές της μπορείς αν το επιθυμείς να κάτσεις να λύσεις και αυτό το πρόβλημα (που μπορεί και να είναι πολύ δύσκολο) και τότε θα βρείς ότι πχ αυτό το σύνολο είναι το [-1,1].
Καταλαβαίνω τι εννοείς. Νομίζω ότι κακώς αναφέρεται στο βιβλίο ότι το σύνολο Β μπορεί να έχει περισσότερες τιμές από το Α που δεν αντιστοιχούν σε τιμές του χ γιατί μόνο μπέρδεμα προκαλεί αυτό και πάλι εξήγηση για την προέλευσή τους δεν υπάρχει. Ακόμα και όταν ορίσω το ψ, θα το ορίσω με βάση τα δυνατά χ. Δεν έχω άλλο τρόπο ορισμού. Εκτός και αν υπάρχει κάποιος τρόπος που δεν τον έχω μάθει. Θα δείξει!
After reading these comments it became perfectly clear to me.
I would think if some element(s) of the function is(are) able to negate x, you would have several different y's which are the same, while x has varied. These y's are still dependent, in a way, on x, but you would not necessarily know which x.
Is that the answer?
σκέψου λίγο περισσότερο το απλό παράδειγμα με το ημχ. η σημαντική πληροφορία που αρχικά σε ενδιαφέρει είναι ότι έχουμε μια μηχανή που της δίνουμε πραγματικούς και μας δίνει πραγματικούς, δεν θα μας δώσει μιγαδικούς ή λεμόνια. το ποιό υποσύνολο των πραγματικών είναι το ελάχιστο δυνατό που επίσης θα αρκούσε για πεδίο τιμών είναι μια πολύ δευτερεύουσα πληροφορία που πιθανότατα δεν σε ενδιαφέρει. το αν το βιβλίο είναι κακογραμμένο και σε μπερδεύει (πιθανόν να είναι) αυτό δεν το ξέρω γιατί δεν ξέρω σε ποιο βιβλίο αναφέρεσαι...
είναι σημαντικότερο να ξέρουμε την βασική πληροφορία ότι το ψ είναι πραγματικός γιατί αυτό μας δίνει την βασική αντίληψη τί μπορούμε να κάνουμε με αυτόν τον αριθμό (πχ μπορούμε να βρούμε το συνψ) ενώ το να περιορήσεις το πεδίο τιμών δεν είναι ανάλογης σημασίας.
@Indie: LOL! I knew you could understand Greek all the time. ;)
You are right, I got it all wrong, I had understood it wrongly. I read again and the book says:
1. Every element of A (x) produces one element of B(y)
2. Some elements of B may not be values of the function
3. Two or more elements of A may produce the same element of B
The second statement is my problem and the third was not understood correctly by me. I thought two x cannot produce the same y. I also thought that an x can produce two different y.
So you are right.
But there is still the question related to the second statement, why do some y not belong to the function?
I posted an image in the main post. It illustrated a correct function. Some y do not correspond to any x. But some x produce same y.
Αναφέρομαι στο βιβλίο της πρώτης λυκείου που λέει ακριβώς τα παρακάτω:
1. Κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β
2. Μερικά στοιχεία του Β μπορεί να μην αποτελούν τιμές της f
3. Δύο ή περισσότερα στοιχεία του Α μπορεί να αντιστοιχίζονται στο ίδιο στοιχείο του Β
Και έχει ένα σχήμα σαν αυτό που έβαλα μόλις τώρα στη σελίδα το οποίο παριστάνει την σωστή συνάρτηση.
Μου αρέσουν πολύ οι συναρτήσεις! Νομίζω είναι το πιο ενδιαφέρον κομμάτι των μαθηματικών που έχω κάνει μέχρι τώρα!
στο σχήμα έχεις την τιμή χ2 να δίνει δύο τιμές (ψ1 και ψ2) το οποίο δεν είναι πολύ σωστό ειδικά για τις προθέσεις του βιβλίου.
τώρα για το γιατί θέλουμε να διαλέγουμε ένα σύνολο Β ως πεδίο τιμών των ψ που περιλαμβάνει και "αχρείαστα" στοιχεία ισχύουν αυτά που σου έγραψα παραπάνω. θέλουμε να βλέπουμε την συνάρτηση ώς μια μηχανή και θέλουμε μόνο την βασική ιδέα του τί μπορεί να μας δώσει σε πρώτη φάση . θα ήταν ιδιαιτέρως μη πρακτικό να έμπαινες στον κόπο σε κάθε συνάρτηση να ψάχνεις να βρείς το ελάχιστο πεδίο τιμών. μπορεί την συνάρτηση να μην την ξέρεις. για παράδειγμα μπορώ να σου πώ ότι η έχω μια συνάρτηση φ(χ) που η παράγωγός της είναι ημχ μπορείς να βγάλεις πολλά συμπεράσματα και να λύσεις πολλά προβληάμτα αλλά δεν ξέρεις ποιο είναι το ελάχιστο πεδίο τιμών.
Όντως ήταν λάθος. Το διόρθωσα, τώρα πρέπει να είναι σωστό.
It sounds like B is part of a greater whole, and the function A only maps to a subset of B.
But this is scaring me, because I really know nothing about math at all anymore.
It is scary, if you think that this is maths they teach at school in the 10th class (First High school class in Greece). It will just remain an unsolved mystery to me.
Die Funktionsweise der Funktionen sind leicht verständlich, angenommen, man versteht, dass eins und zwei eigentlich gleich sind. Der Beweis:
a = b
a2 = ab
a2 - b2 = ab-b2
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a+b = b
b+b = b
2b = b
2 = 1
divide by zero (a-b) error :)))
Elbot! Es ist mir eine Ehre dich auf meinen Blog zu haben! I love Elbot!
But lucinos is right:
(a-b)(a+b) = b(a-b)
(a-b)=(a-a)=0 and it is not allowed to divide by 0.
Well done Lucinos!
Are you claiming that the things that you listed are easier? :)) For once I dont know what these are...
I have a very bad feeling about maths.. they are getting more difficult all the time. I am too silly to understand.
LS
But I am determined to die trying :)).
Post a Comment